追記です。
一般ダイナースクラブでも別件のついでに問い合わせしており、結果を受け次第情報提供いたします。
(ダイナースクラブはJALエービーシと提携しています)
なお、ダイナースクラブの保険のあらまし(2015年12月現在で会社名が三井住友トラストクラブになっていましたので昨日時点の情報です!)には次の文言があります。
以下のものを含みます。
・レンタル業者より被保険者が直接借用した旅行用品または生活用品
https://www.diners.co.jp/ja/usage/insurance/pdf/clubinsurance.pdf